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Als `!Pushforward`! wird eine Abbildung zwischen `F33f`_`[Tangentialräumen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Tangentialraum]`_`f `F33f`_`[glatter Mannigfaltigkeiten`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Differenzierbare_Mannigfaltigkeit]`_`f bezeichnet, die die im euklidischen Raum definierte `F33f`_`[Richtungsableitung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Richtungsableitung]`_`f verallgemeinert.

Das duale Konzept heißt meist `F33f`_`[Rücktransport`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Rücktransport]`_`f (`*Pullback`*).

>>Contents

• `F0af`_`[Definition`#definition]`_`f

• `F0af`_`[Bezeichnungen und Schreibweisen`#bezeichnungen-und-schreibweisen]`_`f

• `F0af`_`[Bedeutung für Tangentialvektoren von Kurven`#bedeutung-f-r-tangentialvektoren-von-kurven]`_`f

• `F0af`_`[Darstellung in Koordinaten`#darstellung-in-koordinaten]`_`f

• `F0af`_`[Pushforward im euklidischen Raum`#pushforward-im-euklidischen-raum]`_`f

• `F0af`_`[Eigenschaften`#eigenschaften]`_`f

• `F0af`_`[Literatur`#literatur]`_`f

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>>Definition

Sind M {\\displaystyle M} und N {\\displaystyle N} `F33f`_`[glatte Mannigfaltigkeiten`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Differenzierbare_Mannigfaltigkeit]`_`f und ist F : : M → → N {\\displaystyle F\\colon M\\rightarrow N} eine `F33f`_`[glatte Abbildung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Glatte_Abbildung]`_`f, so definiert man den `!Pushforward`!

F ∗ ∗ : : T p M → → T F ( p ) N {\\displaystyle F_{\\ast }\\colon T_{p}M\\rightarrow T_{F(p)}N}

von F {\\displaystyle F} am Punkt p ∈ ∈ M {\\displaystyle p\\in M} durch

( F ∗ ∗ v ) ( f ) = v ( f ∘ ∘ F ) {\\displaystyle (F_{*}v)(f)=v(f\\circ F)}

für v ∈ ∈ T p M {\\displaystyle v\\in T_{p}M} und jede glatte Funktion f ∈ ∈ C ∞ ∞ ( N ) {\\displaystyle f\\in {\\mathcal {C}}^{\\infty }(N)} auf der Mannigfaltigkeit N {\\displaystyle N} . Hierbei werden Tangentialvektoren als Richtungsableitungen (`F33f`_`[Derivationen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Derivation_(Mathematik)]`_`f) aufgefasst, vgl. `F33f`_`[Tangentialraum`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Tangentialraum]`_`f.

Auf diese Weise wird eine Abbildung F ∗ ∗ : : T M → → T N {\\displaystyle F_{\\ast }\\colon TM\\to TN} definiert.

>>>Bezeichnungen und Schreibweisen

Andere Bezeichnungen für den Pushforward sind `*Ableitung`*, `*Differential`* und `*Tangentialabbildung`* von F {\\displaystyle F} . Andere Schreibweisen sind F ′ ( p ) v {\\displaystyle F\\,'(p)v} , D F p ( v ) {\\displaystyle DF_{p}(v)} , D p F ( v ) {\\displaystyle D_{p}F(v)} , d F p ( v ) {\\displaystyle dF_{p}(v)} , d p F ( v ) {\\displaystyle d_{p}F(v)} und T p F ( v ) {\\displaystyle T_{p}F(v)} . Oft werden die Klammern um das Argument v {\\displaystyle v} auch weggelassen.

>>Bedeutung für Tangentialvektoren von Kurven

Ist v = c ˙ ˙ ( t ) ∈ ∈ T p M {\\displaystyle v={\\dot {c}}(t)\\in T_{p}M} der Tangentialvektor einer differenzierbaren Kurve c : : I → → M {\\displaystyle c\\colon I\\to M} (hierbei ist I {\\displaystyle I} ein Intervall in R {\\displaystyle \\mathbb {R} } ) im Punkt p = c ( t ) {\\displaystyle p=c(t)} , so ist F ∗ ∗ v {\\displaystyle F_{*}v\\,} der Tangentialvektor der Bildkurve c ~ ~ = F ∘ ∘ c : : I → → N {\\displaystyle {\\tilde {c}}=F\\circ c\\colon I\\to N} im Bildpunkt F ( p ) = c ~ ~ ( t ) {\\displaystyle F(p)={\\tilde {c}}(t)} , also

F ∗ ∗ v = c ~ ~ ˙ ˙ ( t ) = ( F ∘ ∘ c ) ⋅ ⋅ ( t ) {\\displaystyle F_{*}v={\\dot {\\tilde {c}}}(t)=(F\\circ c)^{\\cdot }(t)} .

>>Darstellung in Koordinaten

Sind ( x 1 , … … , x m ) {\\displaystyle (x_{1},\\dots ,x_{m})} lokale Koordinaten auf M {\\displaystyle M} um p {\\displaystyle p} und ( y 1 , … … , y n ) {\\displaystyle (y_{1},\\dots ,y_{n})} lokale Koordinaten auf N {\\displaystyle N} um den Bildpunkt F ( p ) {\\displaystyle F(p)} , so haben die Vektoren v ∈ ∈ T p M {\\displaystyle v\\in T_{p}M} und w = F ∗ ∗ v ∈ ∈ T F ( p ) N {\\displaystyle w=F_{*}v\\in T_{F(p)}N} die Darstellungen

v = ∑ ∑ j v j ∂ ∂ ∂ ∂ x j {\\displaystyle v=\\sum _{j}v^{j}\\,{\\frac {\\partial }{\\partial x^{j}}}} bzw. w = ∑ ∑ i w i ∂ ∂ ∂ ∂ y i {\\displaystyle w=\\sum _{i}w^{i}\\,{\\frac {\\partial }{\\partial y^{i}}}} .

Wird weiter die Abbildung F : : M → → N {\\displaystyle F\\colon M\\to N} durch die Funktionen f 1 ( x 1 , … … , x m ) , … … , f n ( x 1 , … … , x m ) {\\displaystyle f^{1}(x_{1},\\dots ,x_{m}),\\dots ,f^{n}(x_{1},\\dots ,x_{m})} dargestellt, so gilt

w i = ∑ ∑ j ∂ ∂ f i ∂ ∂ x j v j {\\displaystyle w^{i}=\\sum _{j}{\\frac {\\partial f^{i}}{\\partial x^{j}}}\\,v^{j}} .

>>Pushforward im euklidischen Raum

Liegt der Spezialfall F : : R m → → R n {\\displaystyle F\\colon \\mathbb {R} ^{m}\\rightarrow \\mathbb {R} ^{n}} vor, so stellt F ∗ ∗ {\\displaystyle F_{*}\\,} nichts anderes als die `F33f`_`[totale Ableitung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Totale_Ableitung]`_`f D F ( p ) : : R m → → R n {\\displaystyle DF(p)\\colon \\mathbb {R} ^{m}\\rightarrow \\mathbb {R} ^{n}} dar, wobei der `F33f`_`[euklidische Raum`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Euklidischer_Raum]`_`f in natürlicher Weise mit seinem `F33f`_`[Tangentialraum`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Tangentialraum]`_`f identifiziert wird (die Unterscheidung zwischen Richtungsableitung und totaler Ableitung spielt hier keine Rolle, da die Funktion bereits als hinreichend glatt vorausgesetzt ist).

Oft wird der Tangentialraum T p R m {\\displaystyle T_{p}\\mathbb {R} ^{m}} des euklidischen Raums R m {\\displaystyle \\mathbb {R} ^{m}} im Punkt p ∈ ∈ R m {\\displaystyle p\\in \\mathbb {R} ^{m}} mit { p } × × R m {\\displaystyle \\{p\\}\\times \\mathbb {R} ^{m}} identifiziert, das Tangentialbündel T R m {\\displaystyle T\\mathbb {R} ^{m}} also mit R m × × R m {\\displaystyle \\mathbb {R} ^{m}\\times \\mathbb {R} ^{m}} . In diesem Fall ist der Pushforward die Abbildung F ∗ ∗ : : ( p , v ) ↦ ↦ ( F ( p ) , D F ( p ) ( v ) ) {\\displaystyle F_{\\ast }\\colon (p,v)\\mapsto (F(p),DF(p)(v))} .

>>Eigenschaften

Für den Pushforward einer Verkettung G ∘ ∘ F : : M → → P {\\displaystyle G\\circ F\\colon M\\to P} zweier Abbildungen F : : M → → N {\\displaystyle F\\colon M\\to N} und G : : N → → P {\\displaystyle G\\colon N\\to P} gilt die `F33f`_`[Kettenregel`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Mehrdimensionale_Kettenregel]`_`f:

( G ∘ ∘ F ) ∗ ∗ = G ∗ ∗ ∘ ∘ F ∗ ∗ {\\displaystyle (G\\circ F)_{\\ast }=G_{\\ast }\\circ F_{\\ast }}

bzw. punktweise

( G ∘ ∘ F ) ∗ ∗ p = G ∗ ∗ F ( p ) ∘ ∘ F ∗ ∗ p . {\\displaystyle (G\\circ F)_{\\ast p}=G_{\\ast F(p)}\\circ F_{\\ast p}.}

>>Literatur

• John M. Lee: `*Introduction to Smooth Manifolds`* (= `*Graduate Texts in Mathematics`* 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1.

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